忘却の微分方程式(52) 反復練習16、対称行列Aを直交行列Uを用いて対角化、Maxima

Joseph Halfmoon

今回は、対角線に関して成分が対称にならんでいる対称行列Aについて、その固有ベクトルから直交行列Uを求め、対角化せよ、との思し召しであります。過去3回くらい似たようなことを繰り返しやってきているので、復習の復習みたいな感じがしないでもないです。ぜんぜん身についてないんだけれども。。。

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※以下の実習は、みんな大好き、フリーの数式処理ソフトウエアの代表選手 Maxima様のWindowsPC上以下のバージョンで行なっております。

    • wxMaxima 21.05.2 (MaximaのGUIフロントエンド的なもの?)
    • Maxima 5.45.1 (Maxima本体)

※以下の参考書の「改訂1」版の演習問題を題材に使わせていただいております。

線形代数キャンパス・ゼミ 改訂9 馬場敬之/著

昔、こういう御本があったればもっと数学できるようになったのにと後悔しきりでありますが、今は数学諦めてMaxima様に丸投げっと。

問題の対称行列Aとその固有値

例題の対称行列Aは、2x2の「ささやか」な大きさのものであります。教科書的には、固有方程式を立て、固有値を求め、固有ベクトルを計算して、変換行列Uを得ると。そして対角行列に至るという手順です。

第48回にて行列の固有方程式を求めること、固有値を得ることは以下のようにやっております。step00A

教科書的には固有値2個もとまったら、さらに固有ベクトルを求めという手順が続いているのですが、Maxima様におかれましては、一撃で固有値、固有ベクトルを求める関数 eigenvectors() を持たれております(第49回でやりました。)

こんな感じ。

step01

上記で固有ベクトルはあっさり求まっているのですが、直交行列Uにするときに正規化しないとならないので、前回も使った以下の小道具を定義しておきます。step02

上記を使って、正規化した固有ベクトルは以下のように求まります。

step03

上記をガチャンコすれば、変換行列(かつ直交行列)Uがもとまります。その操作が以下に。step04

あとは、U-1 A U を計算すればAが対角行列に変換できるっと。こんな感じ。step05

もとまっちゃった?2x2サイズの行列だったけれども、後は3x3だろうと、4x4だろうと、ドンとかかってきなさいって感じ? ホントか?

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