忘却の微分方程式(88) 反復練習51、曲線の弧長、Maxima

Joseph Halfmoon

前回までは体積でしたが、今回は曲線の長さです。次元が下がった?でもメンドウなことは変わりない?「公式」に当てはめていけばMaxima様はいとも容易く解答をご提示くださるのですが、その先、端的に言うと「宿題のお答え」風に整形するのが辛いです。一撃でやってくれる方法ないのかしら。答えは出ているのだから文句いうなと?

※「忘却の微分方程式」投稿順 index はこちら

※数学のお勉強のための以下の教科書(参考書、問題集?)の例題をMaximaの練習に使わせていただいております。

弱点克服 大学生の微積分 江川著 東京図書

遥かなるかな太古の時代、大学生のときにこういう御本が欲しかったデス。

※以下のMaxima/wxMaximaバージョンで実習させていただいております。

    • Maxima 5.46.0
    • wxMaxima 22.04.0
曲線の弧長の公式

パラメータ表示x=f(t)、 y=g(t)、a≦t≦b の曲線の弧長の公式は以下です。まあ見た通りな感じ。Lcurve_param

一方、y=f(x)、a≦x≦bという表現であれば、以下です。Lcurve

まあ、これが分かっていれば、曲線の長さは自在に求まる?ハズ。

今回の問題

今回の問題をグラフ、2次元の、にしてみました。2次元のグラフ、前回までの3次元のグラフにくらべるとお楽、とってもお楽。Q51_1_a

上記のグラフの線分の長さを求めるために公式通りに以下のLを定義しました。積分の中に平方根があり、その中に微分の2乗が入ってますが、なんのそのです(Maxima様にとっては。)

Q51_1_b

evで定積分を評価するときに、cos(x)は正の数なの?と誰何されましたが指定すればお答えは一発。xは0からπ/4と言っているのだから、そのくらいよきに計らってくれんのかなあ。

上記の黄色のマーカ部がお答えです。ただ、数学の宿題のお答え的にはちと形が悪うございます。外にでているマイナスをlogの内側に引っ込めて、中身を整理(有理化)したいです。

マイナスをLogの内側に引っ込めるやり方がわかりませぬ。引っ込めた値をL1として以下のように定義し、その log をとるとちゃんと元に戻るのでL1が「中の人」であることはOK、多分。

Q51_1_c

そこで、中の分母分子に1+√2を掛けて、から整理してlogとったものが以下に。Q51_1_d

上記の黄色のマーカで、宿題のお答え風にまで変形できましたが、なんだかな~。この辺、一発でできんものなのかなあ。わからん。

忘却の微分方程式(87) 反復練習50、バームクーヘン型回転体の求積、Maxima へ戻る

忘却の微分方程式(89) 反復練習52、等角螺旋(極座標表示)の弧長を求めよと、Maxima へ進む