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前回に引き続き「曲線の長さ（弧長）」を求めます。今回は極座標表示されている関数 r = f(Θ)、rは原点からの距離、Θは角度、のような形について練習します。例題はEquiangular spiral、等角螺旋、等角渦線、対数螺旋、ベルヌーイの螺旋などとも呼ばれる図形らしいです。ぐるぐるまき？

“忘却の微分方程式(89) 反復練習52、等角螺旋（極座標表示）の弧長を求めよと、Maxima” の続きを読む

前回までは体積でしたが、今回は曲線の長さです。次元が下がった？でもメンドウなことは変わりない？「公式」に当てはめていけばMaxima様はいとも容易く解答をご提示くださるのですが、その先、端的に言うと「宿題のお答え」風に整形するのが辛いです。一撃でやってくれる方法ないのかしら。答えは出ているのだから文句いうなと？ “忘却の微分方程式(88) 反復練習51、曲線の弧長、Maxima” の続きを読む

前回も回転体の体積の定積分でしたが、今回も回転体です。ただし求積法がちょいと異なります。バームクーヘン型とな。バームクーヘンが薄い生地を巻き付けるような構造をしているように、１枚１枚の極薄の側面積を積分して行けば体積になるのだ、と。個人的には前回よりもわかりやすいかも。コーヒー飲みながら積分するのがよろしいようで。 “忘却の微分方程式(87) 反復練習50、バームクーヘン型回転体の求積、Maxima” の続きを読む

前回は、ある軸にそった断面積が分かるときに体積を求める例題でした。今回はその応用という感じ？曲線をある軸の周りに回転させたときにできる曲面と「回転軸座標のある範囲」で囲まれる体積を求めよ、という感じっす。そのままでは前回とあまり変わらないので、ちょいとひねり、いや回転を加えてるみたい。 “忘却の微分方程式(86) 反復練習49、回転体の体積を求める、Maxima” の続きを読む

前回は極座標表示での定積分でしたが、今回は３次元での求積です。なんだか難しくなってきた？でも、やってみると（正確に言えばMaxima様にお願いすれば）定積分は一撃でした。結局断面積を求める方がムツカシかった？それに３次元プロットのやりかた忘却してるし。ポリゴンぐりぐりしたいんですけど。

“忘却の微分方程式(85) 反復練習48、断面積から体積を求める、Maxima” の続きを読む

前回は媒介変数表示、今回は極座標表示です。どんどんメンドくなっているようでいて極座標表示での積分はお楽でした。本当か？しかしそのプロット、それも極座標表示のグラフ２つに挟まれた隙間の面積部分、塗りつぶし方がわからないっす。苦し紛れに手で塗りました。グラフの塗りつぶし方の練習も必要ね。 “忘却の微分方程式(84) 反復練習47、極座標表示の曲線に挟まれた面積、Maxima” の続きを読む

前回は陰関数、今回は媒介変数です。ハート型です。バレンタインだからというわけでないです。メンドい感じのグラフだな、これは。これも修行と。違うか。今回の媒介変数の例題では、プロットだけでなく積分も媒介変数のまま行うことになるみたい。要は置換積分なんだけれども。高校生なら覚えている置換積分も、年寄は忘却の彼方。どうする？

“忘却の微分方程式(83) 反復練習46、媒介変数表示グラフに囲まれた面積、Maxima” の続きを読む

今回は冒頭のアイキャッチ画像のメガネ型のグラフの内側の面積をもとめる例題です。定義域は実数範囲。忘却している方法は２つ。「陰関数のプロットってどうやったんだっけ？」グラフをみればもう一つ「積分の途中でグラフが交差してしまうのだけど、どうするの？」やってみたらば意外と簡単？エレガントとは程遠い？

“忘却の微分方程式(82) 反復練習45、陰関数のグラフに囲まれた面積？を求める、Maxima” の続きを読む

このところ定積分を練習していた筈、トートツに級数の和が登場した感あり。しかし深い慮りがあると見ましたぜ。これから面積とか体積とか積分していくみたいなのですが、その礎として「ｎ分割のｎを無限にして足し合わせたならば」ということを置いておかないと気持ち悪りーと。そんなのあたり前じゃん、みたいに踏みつぶしたりしないのですな。
“忘却の微分方程式(81) 反復練習44、級数の和の極限値、Maxima” の続きを読む

前回がベータ関数であったので、今回は順当に？ガンマ関数であります。無限がでてくる異常積分（広義積分）の問題なのだけれども、Maxima先生は苦も無く一撃で解いておしまいになります。入力すればお答えがでてくる、楽っちゃ楽だけれども、自分的には進歩がないな。だいたいΓ（ガンマ）関数ってどんなんだっけ？ “忘却の微分方程式(80) 反復練習43、ガンマ関数に帰着する異常積分、Maxima” の続きを読む

今回も絶対に自力じゃ解ける気がしない定積分の例題です。ベータ関数に帰着するもの。だいたいベータ関数ってどんなんだっけ？「親類」にはガンマ関数とかヤバそうな奴らがいたような。しかし、Maxima様におかれましては一撃で解いておしまいになります。Maximaはベータ関数そのものも持っているのでそちらでもやってみるか？ “忘却の微分方程式(79) 反復練習42、ベータ関数に帰着する定積分の例題、Maxima” の続きを読む

前回が「有限区間」であったので今回は「無限区間」で異常積分に取り組むこととあいなりました。自分じゃまったく解ける気がいたしませぬ。例によって「準備」とか「整理」とかに手間かかるのでしょ、と思っていたら一撃。ただ式を入力するだけでお答えが求まってしまうと。Maxima様は無限はお得意？ “忘却の微分方程式(78) 反復練習41、無限区間における異常積分（広義積分）Maxima” の続きを読む

積分区間の中に特異点のある異常積分（広義積分）など自分じゃ解ける気などしませんな。何言っているんだかわからない。しかし、他力本願 Maxima 様に御すがりすれば救っていただけると。衆生済度ってやつか？（ちょっと違うけど）でもま、準備だったり、後始末だったり、ちょっとは働かないとならないようです。知らんけど。

“忘却の微分方程式(77) 反復練習40、有限区間における異常積分（広義積分） Maxima” の続きを読む

前回は「kは0じゃない」みたいな条件をつけて積分する技？を練習。今回は一歩進めて？「nは自然数」とか「aは正の定数」とか条件を付けたうえで積分をいたしてみようと思います。といって計算してくれるのはMaxima様ですが。教科書的には部分積分の例題ですが、Maxima様にかかれば一撃とな。 “忘却の微分方程式(76) 反復練習39、nは自然数、aは正の定数、Maxima” の続きを読む