☆雑資料
◆面積、体積公式
①球 sphere
│ 表面積 S=4πr^2
│ 体積 V=4πr^3/3
②直円錐 right circular cone
│ 母線の長さl
│ 側面積 S’=πrl
│ 表面積 S=πr(l+r)
│ 体積 V=πr^2h/3
③正四面体 tetrahedron
│ S=(√3)*a^2
│ V=(√2/12)*a^3
④正六面体 cube
│ S=6a^2
│ V=a^3
⑤正八面体
│ S=2√3a^3
│ V=(√2/3)a^3
⑥直円柱 Cylinder
│ 側面積S’=2πrh
│ S=2πr(h+r)
│ V=πr^2h
⑦正三角形 equilateral traiangle
│ S=((√3)/4) a^2
⑧三角形 triangle
│ S=(1/2) ah=(1/2) bc sinA
│ =SQRT(s(s-1)(s-b)(s-c))
│ 2s=a+b+c
⑨扇型 sector
│ s=rθ
│ s=r^2 * θ/2 (θは中心角ラジアン）
⑩円 circle
│ l=2πr
│ S=πr^2=lr/2
◆内接・外接正多角形の一辺の長さ
①内接正多角形
│ a_n+1 = √(2 – √(4-(a_n)^2))
│ a_0=1
②外接正多角形
│ (b_n+1/2)=√(1+(2/b_n)^2) – (2/b_n)
│ b_0=2/√3
◆カオスが現れる数列
│ X0 = c (0 < c < 1)
│ X{n+1} = d * x{n} * (1 – x{n})
│ d=2のときは、単調に0.5に近づく。
│ d=3.3では振動
│ dが4に近づくとカオスが現れる。
※図形的には上に凸なy=d*x(1-x)なる２次関数とy=xなる１次関数について
⇒x軸から２次関数のyをもとめ
⇒それをy=xでx軸に投影
⇒それを繰り返す操作
◆黄金比
※黄金長方形
辺の比が黄金比になっている長方形。
⇒長方形から正方形を切り取ると残りの長方形が再び黄金長方形となる。
よって、
ｘ：１＝１：（ｘ－１）
となるので、
x^2-x-1=0
の根の一つが黄金比を与える。
1 : (1+√5)/2 (1 : 1.6180…)
※黄金数は通常Φで表される。
◆開平法
例）
27.31
+—————-
2 |745.8361
2 |4
— |—
47 |345
7 |329
— |——
543 |1683
3 |1629
—— |——
5461 1 5461
1 | 5461
|——
| 0
◆開立法
例）
8 . 3 2
+----------------
8 8*8 |575 .930 368
8 8*8 |
8 8*8 (*8) |512
+------ |---
24 192 | 63 930
------- |---
243 19200 |
(243*3=)729 |
+---- |
3 19929 (*3)| 59 787
3 (3*3=)9 |
+---------------|----------------
249 (729+19929+9=)2066700
+---------------|----------------
2492 2066700 | 4 143 368
(2492*2=)4984
-------- |
2071684 (*2)| 4 143 368
+----------------
0
◆和算 塵劫紀による命数法
10^4 万
10^8 億
10^12 兆
10^16 京
10^20 垓 ガイ
10^24 禾予 ジョ
10^28 穰 ジョウ
10^32 溝 コウ
10^36 澗 カン
10^40 正 セイ
10^44 載 サイ
10^48 極 ゴク
10^52 恒河沙 ゴウガシャ
10^56 阿僧祇 アソウギ
10^60 那由他 ナユタ
10^64 不可思議 フカシギ
10^68 無量大数 ムリョウタイスウ
10^-1 分
10^-2 厘
10^-3 毛
10^-4 絲
10^-5 忽
10^-6 微
10^-7 繊
10^-8 沙
10^-9 塵
10^-10 挨
10^-11 渺 ビョウ
10^-12 漠 バク
10^-13 模糊 モコ
10^-14 逡巡 シュンジュン
10^-15 須臾 シュユ
10^-16 瞬息 シュンソク
10^-17 弾指 ダンシ
10^-18 刹那 セツナ
10^-19 六徳 リットク
10^-20 虚空 コクウ
10^-21 清浄 セイジョウ
◆googol
1の後に0を100個並べた数
※googleは、googolのスペルを間違えたスポンサーの小切手から名づけられたらしい
◆平均律音階
ドからシまで半音入れて１２音階
ドから次のドまで１オクターブ、振動数２倍
r^12 = 2
半音上がると振動数は
r = 2^(1/12) ≒ 1.06倍になる
◆記号
∀ すべての
例）
∀n∈Ｎ For all n in N (Nは集合）
＜すべてのＮの要素nについて＞
∃ 存在する
例）
∃n∈Ｎ n exists in N (Nは集合）
＜nが存在する＞
※この後に、式を書き、
such that …
∂/∂x 偏微分
複数の独立変数を持つ関数において、∂/∂xは他の変数は定数とみなしてxだけで微分すること
∇：ベクトル微分演算子（ナブラ）
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
=ｅx*∂/∂x + ｅy*∂/∂y + ｅz*∂/∂z
≡ 合同、もしくは定義する
[]ガウス記号
任意の実数xに対して、xを越えない最大の整数を[x]であらわす。
例)
[3.14] = 3
[3] = 3
[0] = 0
[-1] = -1
[-1.5] = -2
※小数第２位以下切捨て
[10x]/10
※端数切り上げ
-[-x]
※４捨五入
[x + 0.5] あるいは [2x] – [x]
∨ 離接、選言（論理和） disjunction
∧ 合接、連言（論理積） conjunction
￢ 否定
⇒ ならば
⇔ 論理的同値（真偽が一致すること）
◆アルゴリズム
ある結果を得るための手順、有限回で必ず終わること。
※n個の数値を比較の繰り返しで小さい順に並べ替えるとき
⇒どんな方法でも平均比較回数はlog(2)n!より小さくできない
◆チェビシェフ多項式
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51179507.html
①任意の自然数ｎに対して，cosｎθはcosθのｎ次多項式で表されることが予想される。
②x=cosθとすると、多項式は各次数に対して１つずつ存在し，ｎ次のチェビシェフ多項式をTn(x)と表す。
Tn＋1(x) ＝ 2 x Tn(x) － Tn－1(x)
T1(x) ＝ x
T0(x) ＝ 1
※厳密には，まずはこの式のｘがcosθと表される場合，つまり－１≦ｘ≦１の場合が示され，その後で，両辺多項式なので全ての実数ｘに対して成立することが分かる
③ｎ次のチェビシェフ多項式は，ｎが偶数のときはｘの偶数次の項しかなく，またｎが奇数のときにはｘの奇数次の項しかない
nが偶数ならTn(x)は偶関数
nが奇数ならTn(x)は奇関数
④全係数の和が１。チェビシェフ多項式にｘ＝１を代入すると１になる
Tn(1)=1