☆お言葉
「原稿や印刷物や黒板の数学記号の
正しい利用を見守っている神よ
どうか私を、そして私の罪を許し給え。」
－－－ヘルマン・ワイル、プリンストン高等研究所教授
「私は常に研究において、真理と美を統一しようとしてきたが
いずれか一方のみを選択しなくてはならない局面では、
多くの場合に美を選択してきた」
－－－ヘルマン・ワイル、数学者
「愛の本質を表したシェイクスピアの詩の如く、あるいは、人間の内面の奥深く潜む美を描いた絵画の如く、オイラーの方程式は人間存在の深みに達している」
－－－e^iπ + 1 = 0について、キース・デブリン
「証明は、それを与える人間と、それを受け取る人間がいて初めて成立する
－－－アウグスツス・ド・モルガン
「カントルが創ってくれたこの楽園から我々を追放することは誰にも許されない」
－－－ヒルベルト。カントルの集合論に深刻なパラドックスが発見されて数学全体が危機に陥ったときに
「我々は知らねばならない。我々は知るであろう」
－－－ヒルベルト
※これはエミール・デュボア・レーモン（生理学者、哲学者）の「われわれは知らない、そして知ることはないだろう」というモットーを嫌い、ラジオ講義で使った言葉
「ドレ、どこが？アア、この穴か。これなら前学期にもあいてたようだよ」
－－－ヒルベルト。ズボンの穴について
「数学の本質は、まさにその自由にある」
－－－カントル
「証明しながら後ろ向きに解くのでなく、ひらめきで前向きに解く和算」
－－－佐藤健一
「ある一つの分野が進歩していって、その進歩の最先端から新しい分野が生まれるのではなく、その分野の原始的なところから新しい分野が生まれる」
－－－小平邦彦
「彼は頭の回転が異常に速く悪魔のように鋭い」
「実は悪魔だった」
－－－フォン・ノイマンについての噂
「Galoisは殺されても無視されても純粋数学の真理は変わりようがない。若者の衝動を理解できない大人達を裁くのは、万古不易の数学の真理の力である」
－－－飯高茂
「毎日毎日10個位デタラメなことを考える。これを一ヶ月続けると中には面白そうなものが現れる」
－－－岡潔
「数式処理を使い出すと頭が悪くなる」という心配もあるが、数式処理はもともと頭が悪い人が使うものである。抽象的一般論を理解できない人が何とか分かるようになるためには、具体的例題の計算を積み重ねることしか方法はないのである。
－－－広田良吾
「不等式こそが微積分の心」
－－－広田良吾
「我が円をかき乱すな」
－－－アルキメデス
「物事を嫌い、それを遠ざける理由は百万通りあるだろうから、それを”説得する”のは、ほぼ不可能である」
－－－広田良吾
「数学の理解、特に基礎的な概念を理解するためには、”鳥の目”を必要とする。」
－－－広田良吾
「今学んでいることの意味が、後からようやく分かる場合もある」
－－－広田良吾
「数学は、人間性の本質に根ざしたものである」
－－－岡潔
「日本に数学をではなく、数学の中へ日本を投げ込め」
－－－岡潔
「数学を理解するということは、その数学的現象を「みる」ことである。「みる」というのは数覚によって知覚することである。」
－－－小平邦彦
「”人の心に火をつける”ことこそ教育であるはずなのに、相も変わらず”尻に火を点ける”ことばかりやっている」
－－－広田良吾
「ところで、これはフェルマーの最終定理が真であったことを意味している。[証明終わり]」
－－－アンドリュー・ワイルズ、”モジュラ形式、楕円曲線、ガロア表現”と題する３回の連続講義の最後に（1993/06/24)
「ハルペドナプタイ(rope stretchers)が, 3+4+5=12の結び目を持つ綱を用いて直角を作っていたと思われるという根拠のない話はあるものの、エジプト人がピタゴラスの定理の概念を有していたという徴候などない」
－－－ディルク・ヤン・ストロイク
「我々宇宙のあらゆることを指すのにカスモスという単語を作ったのはピタゴラスだった（カール・セーガンではない）」
－－－レオン・レーダーマン、物理学者、ノーベル賞
「E=m(a^2+b^2)=mc^2」
－－－作者不明の狂歌
「学校で習ったことは全部忘れてほしい；そんなものは習わなかったのだから」
－－－エドムント・ランダウ、「解析学の基礎」
「数学者に何を言っても、彼らは自分自身の言葉に置き換える。そしてそれは直ちに何かまったく違ったものになる。」
－－－ヨハン・ヴォルフガング・フォン・ゲーテ
「暗号が安全であるとは、みんなで解読を試みて解読できなかったということ」
－－－Javaで作って学ぶ暗号技術、森北出版
「甲南女子大学の学生の全体は集合であるが、芦屋のお嬢様全体が集合かどうかは疑わしい」
－－－萩谷昌己、岩波講座 応用数学9より
「５００ページほど書きましたが、そのほとんどはクズ同然です」
－－－アクセル・トゥエ、数学者
「重要な結果が得られそうになるたびに、それが既知の結果であることがわかるのだ。何か、ほんとうに新しいといえること、れっきとした数学者が興味深いと思えるようなことがまだ残されていればいいのだが」
－－－アクセル・トゥエ、数学者
「控えめな人柄のミンコフスキーは、話術で聞き手を引き付けるタイプではなかったため、彼の講義を欠席する学生は多かった。なかでも一人の学生はまったくと言っていいほど講義にでてこなかったため、とくにミンコフスキーの怒りを買った。」
－－－ジョージ・Ｇ・スピーロ、ミンコフスキーとアインシュタインについて
『ある幾何学の定理について』
－－－フェイエシュ・トートが円充填問題についての定理を証明した論文のタイトル。４７行の文と１枚の図だった
「偉人たちの多くには、外聞をはばかる秘密があるものだ。ニュートンも例外ではなかった」
「ニュートンは、述べたことも行ったことも、ほとんどずべて正しかった。しかしその彼も絶対に間違いを犯さないとは言えないことは、水銀を金に変えようとしたことからもわかる。」
－－－ジョージ・スピーロ
「ホッペの人性は平々凡々たるものだったが、業績リストの内容もまた凡庸だった」
－－－ジョージ・スピーロ
「教授たちは、完璧な講義をするか、あるいは誰もが途方に暮れるようなわけのわからない話をするかのいずれかだった」
－－－ジョージ・スピーロ、ゲッティンゲン大学の数学研究所について
「かって生まれたなかでもっとも重要かつ創造的な数学的天才」
アインシュタイン、女性数学者エンミ・ネーターについて
「ここで『初等的』という言葉にだまされてはいけない。それは『簡単』とは別のことである」
－－－ジョージ・スピーロ
「この世には旧約聖書と新約聖書と整数列大事典がある」
－－－ある読者の言葉、ニール・スローンの整数列大辞典の
「より短い、あるいはよりエレガントな証明を示さないかぎり、証明が長いことに文句を言うべきではない」
－－－ガウス、ゼーバーの本の書評。ゼーバーは２４８ページの本を書いて弱い定理を証明しただけであったが、ガウスはたった４０行でゼーバーが出来なかった証明を与えた。
「既知の真理に対して新しい証明を見出すことは、しばしば発見それ自体と同じくらいに重要である」
－－－ガウス
「多くの数学者が信じ、すべての物理学者が知っている」
－－－ロジャース。１９５８年にケプラー予想が正しいことについて
「誰かが新しい言葉をひねり出し、古いアイディアを新しい包装紙で飾ろうとするときには注意しよう。それは往々にして、真の革新などどこにもないときに、さもオリジナリティーがあるかに見せかけようとする兆候だからだ」
－－－ジョージ・スピーロ
「この証明が見苦しいという点ではみんなの意見が一致した～しかし、少なくともあの時点では、あれがわれわれにできる最善の仕事だった」
－－－ファーガソン、ケプラー予想についてのヘールズの証明について
「フォン・ノイマンは、どんなに難しい論文でも、パラパラとページをめくっただけで査読を終えたといわれている～彼はちゃんと読んだ。ただ、彼の頭脳は常人の十倍のスピードで働いたということだ」
－－－ジョージ・スピーロ
「フェルマーの最終定理に関するワイルズの証明は『戦争と平和』のようなものであり、ケプラー予想に関するトムの証明は電話帳のようなものである」
－－－イアン・スチュアート
「私がきちんと証明できないかぎり、私の言ったことを信じてはいけないよ」
－－－あるスイスの数学教師
「数学は、社会的なプロセスである。真理はコンセンサスにより真理として認められる」
－－－ジョージ・スピーロ
「数学こそは神の栄光、国益増進、そして個人の栄達の鍵である」
－－－ジョン・ディー「魔術師」、エリザベス１世の占星術師
「袋小路と行き止まりを組み合わせたら、壁がくずれて新しい道が見えてきたのだ」
－－－ジョージ・スピーロ
「リーマン予想は、本書で用いたものよりも初歩的な数学を使ったのでは説明できない」
－－－ジョン・ダービーシャー、素数に憑かれた人たち
「リーマンはずっと便秘に苦しんでいた」
－－－ノイエンシュヴァンダー
「数学者は一般に、特定の関数の感触を、それと長く親しくつきあうことによってつかむ。その特徴や特異なところを観察するのである」
－－－ジョン・ダービーシャー
「『これで～は明白である』というような、いらいらする断定が出てくるが、実際には、欠けている途中を補い、検算するために著者がかけた何時間かをかけないことにはそういうことにはならず、明白でない場合も多い」
－－－ジョン・ダービーシャー
「『数える』ための数と『量る』ための数との区別は、人間の思考と言語の習慣の奥にある」
－－－ジョン・ダービーシャー
「実は、算術には特異な性格がある。問題を言い表すのは簡単だが証明するのは恐ろしいほど難しいということである。」
「ディリクレの変わったところは、出席者を見ないことだ～～～眼は手で覆われているか、そうでなくてもたいていは閉じていた。メモも使わず、頭の中に想像上の計算が見え、それをわれわれに向かって読み上げていた～～～そいういう講義が私は好きだ」
－－－トマス・ハースト
「だが、僕たちの前にあるこの見本なんぞは、暗号文の実にもっとも単純な種類に属するものだと思いたまえ」
－－－ウイリアム・ルグラン（エドガー・アラン・ポー作『黄金虫』）
「数学とは、計算して答えが合えばいいという教科ではなく、『あるゆる可能性を考える学問』なのだ」
－－－南みや子
「人が呼吸をするように、ワシが空を舞うように、オイラーは苦もなく計算をした」
－－－アラゴー
「角の三等分よりも、便箋を簡単に三等分に折り畳む方法を発明するほうがよほど社会の役に立つ」
－－－ド・モルガン
「私は２足す２が４であり、４足す４が８であることを信じます」
－－－マウリッツ、死の床で神父に「悔い改めよ」と促されて
「後の世の人は好意的に見て欲しい。私がここに説明したことに対してだけではなく、意図的に書くのを省略したことに対してもだ。それによって、新しく発見する喜びを残しておいたのだから」
－－－デカルト、余裕をかましたコメント
“Never at rest”
－－－ウエストフォールによるニュートン伝の題名
「オイラー先生がいらっしゃる所に、私如きが行けるわけもございません」
－－－ラグランジュ、ベルリンアカデミーからの誘いを一端断るときに
「ある種の問題は、まず工学的な方法で答えが明らかになってしまう。もちろん後で幾何学的に証明を付けなくてはいけないのだけれども、それでも最初から答えがわかっているのと、一からかんがえなくてはならないのとでは雲泥の差がある」
－－－アルキメデスからエラトステネスへの手紙の一節
「微分積分のもとになっている分析・総合という方法は人間の精神活動のもっとも普遍的で根本的な方法であって、誰でもつねに使っている方法にすぎないのである」
－－－遠山啓
「世の中には（高等）数学ファンが数千人しかいないことは、いくら常識はずれの僕でも心得ている」
－－－竹内薫
「無限は数学の母体です」
－－－志賀浩二
「その結果、多くの”やさしい～”と書かれた教科書は難しい」
－－－吉田武
「今日知られている数の性質は、大部分が観察によって明るみに出たのであり、それが真実であることが厳密な証明によって確かめられるよりずっと前に分かっていたのである」
－－－オイラー
「ぼくは１あら１０まで自力でできることがやりたいんだ。だからコンピュータの助けを借りて作った定理や、一人ではやれそうにないからといって、何人もの数学者がよってたかって作ったよう長々しい証明には興味がないよ。」
－－－ピエール・デリーニュ
「我々の見方からすれば、数学は自然科学ではないという意味で、科学ではない。数学の正否をためすのは実験ではない」
－－－Ｒ．Ｐ．ファインマン、物理学者
「社会科学や自然科学への線形代数の応用では、行列のｎ乗や行列の指数関数が必要になることが多い。従来の線形代数の教科書では、与えられた行列が対角化できない場合には、ジョルダン標準形を用いてそれらを計算することが多いように思われる。しかし、必ずしもそれは絶対に必要というわけではなく、スペクトル分解、一般化スペクトル分解がわかれば十分」
－－－藤田、石井
「『まじめに式をたてると難しくて大変』というときに、『ひとまずまっすぐで近似してみよう』は、理工学の常套手段」
－－－平岡、堀 「プログラミングのための線形代数」
「どの基底を取るかに依存しない概念こそ、対象の本来の性質をとらえたものだ」
－－－平岡、堀 「プログラミングのための線形代数」
「無限次元はおっかないものです」
－－－平岡、堀 「プログラミングのための線形代数」
「『不確実さに立ち向かうこと』『数を数えて定量化すること』『物理的世界を視覚化すること』『日常世界を超越すること』」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「この世はカオスが支配しているのだ」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「データから意味をうまく導き出すのは、危険と紙一重の作業だ」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「偶然の一致は起こる」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「ランダムな出来事に意味を付け加えるということこそは、あらゆる種類の愚かしい超自然的な話の源泉なのだ」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「ある数を正確に特定するには、その数の全桁が必要なのである。」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「報道機関にはありふれていないことを多く扱うという偏った傾向があるのだ。」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
「長きにわたる努力にもかかわらず、宇宙は大多数の数学の問題に対する答えを隠し続けている。」
－－－エドワード・バーガー、マイケル・スターバード
☆参考資料
◆カオスが現れる数列
X0 = c (0 < c < 1)
X{n+1} = d * x{n} * (1 – x{n})
d=2のときは、単調に0.5に近づく。
d=3.3では振動
dが4に近づくとカオスが現れる。
※図形的には上に凸なy=d*x(1-x)なる２次関数とy=xなる１次関数について、x軸から２次関数のyをもとめ、それをy=xでx軸に投影し、それを繰り返す操作になる。
◆開平法
例）
27.31
+—————-
2 |745.8361
2 |4
— |—
47 |345
7 |329
— |——
543 | 1683
3 | 1629
—— |——–
5461 | 5461
1 | 5461
|——–
| 0
◆開立法
例）
8 . 3 2
+—————-
8 8*8 |575 .930 368
8 8*8 |
8 8*8 (*8) |512
+—— |—
24 192 | 63 930
——- |—
243 19200 |
(243*3=)729|
+—-|
3 19929 (*3)| 59 787
3 (3*3=)9 |
+—————|—————-
249 (729+19929+9=)2066700
+—————|—————-
2492 2066700 | 4 143 368
(2492*2=)4984
——–|
2071684 (*2)| 4 143 368
+—————-
0
◆和算 塵劫紀による命数法
10^4 万
10^8 億
10^12 兆
10^16 京
10^20 垓 ガイ
10^24 禾予 ジョ
10^28 穰 ジョウ
10^32 溝 コウ
10^36 澗 カン
10^40 正 セイ
10^44 載 サイ
10^48 極 ゴク
10^52 恒河沙 ゴウガシャ
10^56 阿僧祇 アソウギ
10^60 那由他 ナユタ
10^64 不可思議 フカシギ
10^68 無量大数 ムリョウタイスウ
10^-1 分
10^-2 厘
10^-3 毛
10^-4 絲
10^-5 忽
10^-6 微
10^-7 繊
10^-8 沙
10^-9 塵
10^-10 挨
10^-11 渺 ビョウ
10^-12 漠 バク
10^-13 模糊 モコ
10^-14 逡巡 シュンジュン
10^-15 須臾 シュユ
10^-16 瞬息 シュンソク
10^-17 弾指 ダンシ
10^-18 刹那 セツナ
10^-19 六徳 リットク
10^-20 虚空 コクウ
10^-21 清浄 セイジョウ
◆googol
1の後に0を100個並べた数
※googleは、googolのスペルを間違えたスポンサーの小切手から名づけられたらしい
◆平均律音階
ドからシまで半音入れて１２音階
ドから次のドまで１オクターブ、振動数２倍
r^12 = 2
半音上がると振動数は
r = 2^(1/12) ≒ 1.06倍になる
◆記号
＿◇∀ すべての
例）
∀n∈ＮFor all n in N (Nは集合）
＜すべてのＮの要素nについて＞
＿◇∃ 存在する
例）
∃n∈Ｎn exists in N (Nは集合）
＜nが存在する＞
※この後に、式を書き、
such that …
＿◇∂/∂x 偏微分
複数の独立変数を持つ関数において、∂/∂xは他の変数は定数とみなしてxだけで微分すること
＿◇∇：ベクトル微分演算子（ナブラ）
∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
=ｅx*∂/∂x + ｅy*∂/∂y + ｅz*∂/∂z
＿◇≡ 合同、もしくは定義する
左辺を右辺で定義(definition)する
＿◇[]ガウス記号
任意の実数xに対して、xを越えない最大の整数を[x]であらわす。
例)
[3.14] = 3
[3] = 3
[0] = 0
[-1] = -1
[-1.5] = -2
※小数第２位以下切捨て
[10x]/10
※端数切り上げ
-[-x]
※４捨五入
[x + 0.5] あるいは [2x] – [x]
＿◇∨ 離接、選言（論理和） disjunction
＿◇∧ 合接、連言（論理積） conjunction
＿◇￢ 否定
＿◇⇒ ならば
＿◇⇔ 論理的同値（真偽が一致すること）
＿◇Landauの記号
変数xの２つの関数 g(x), h(x)について、ｘがある値αに近づくときの大小関係を表すのに、g=O(h), g=o(h)という記号を使う。
g=O(h)とは、x→αのとき、適当な正数Aを選べば
|g/h|<A
が成り立つことである
g=o(h)とは、任意の正数εに対して
|g/h|<ε
が成り立つことである。|g/h|→0を意味する。
※g=o(h)ならば、g=O(h)である。
※αは±∞でよい
O:同じオーダー
o:ずっと小さい
◆アルゴリズム
ある結果を得るための手順、有限回で必ず終わる。
＿◇n個の数値を比較の繰り返しで小さい順に並べ替えるとき、どんな方法でも平均比較回数はlog(2)n!より小さくできない。
◆チェビシェフ多項式
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51179507.html
①任意の自然数ｎに対して，cosｎθはcosθのｎ次多項式で表されることが予想される。
②x=cosθとすると、多項式は各次数に対して１つずつ存在し，ｎ次のチェビシェフ多項式をTn(x)と表す。
Tn＋1(x) ＝ 2 x Tn(x) － Tn－1(x)
T1(x) ＝ x
T0(x) ＝ 1
※厳密には，まずはこの式のｘがcosθと表される場合，つまり－１≦ｘ≦１の場合が示され，その後で，両辺多項式なので全ての実数ｘに対して成立することが分かる
③ｎ次のチェビシェフ多項式は，ｎが偶数のときはｘの偶数次の項しかなく，またｎが奇数のときにはｘの奇数次の項しかない
nが偶数ならTn(x)は偶関数
nが奇数ならTn(x)は奇関数
④全係数の和が１。チェビシェフ多項式にｘ＝１を代入すると１になる
Tn(1)=1
◆π
≒3.14159265
(BY Daisuke Takahashi)
012345678901の現れる場所
小数点以下1兆7815億1406万7534桁目から
小数点以下2兆3641億9038万6673桁目から
271828182845
小数点以下1兆160億6541万9627桁目から
小数点以下1兆5359億1732万8677桁目から
◆e
≒2.71828183
☆文献
図解雑学 指数対数 佐藤敏明 ナツメ社 2006/10/24
数学ガール 結城浩 ソフトバンククリエイティブ 2007
BB 素数入門 芹沢正三 講談社 2002/10/20
算数・数学百科 数学教育協議会 日本評論社 2005/8/10
http://www.nikonet.or.jp/spring/aporo_3/aporo_3.htm
数学超入門 郡山彬 日本実業出版社 2001/01/25
パラドックスの哲学 1993/04/10, R.M.セインズフリー,一ノ瀬訳 勁草書房
http://hawaii.naist.jp/~shige-o/cgi-bin/wiki/wiki.cgi?%C6%FE%CC%
ヒルベルト空間論 保江邦夫 日本評論社 2000/05/15
極限の深み 志賀浩二 岩波書店 1994/4/5
岩波講座 応用数学14 Fourier-Laplace解析 木村英紀 1993/9/8
Javaで作って学ぶ暗号技術 神永,山田,渡邊 森北出版 2008/5/12
岩波講座 応用数学9 論理と計算 萩谷昌己
ケプラー予想 ジョージ・Ｇ・スピーロ 青木訳 新潮社 2005/4/30
素数に憑かれた人たち ジョン・ダービーシャー 日経BP社 2004/8/30 1版1刷
よく分かる量子力学 2005/12/04 夏梅,二間瀬 ナツメ社
ポアンカレの贈り物 南、永瀬 講談社 2001/3/20
天才数学者はこう解いた、こう生きた 木村俊一 2001/11/10 講談社
微分と積分–その思想と方法 1970/2/28 遠山啓 日本評論社
http://homepage2.nifty.com/masema/transposed_matrix.html
応用物理の数理 1994/10/28 今井功 岩波書店
科学技術者のための基礎数学 修正20版 昭和54/1/10 矢野健太郎,石原繁 裳華房
新装版 オイラーの贈り物 -人類の至宝e^iπ=-1を学ぶ- 吉田武 2010/1/23 東海大学出版会
線形代数 近江著 柳下監修 2005/3/22 ナツメ社
金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式 1999/9/27 石村貞夫、園子著 東京図書
穴埋め式 線形代数 らくらくワークブック 藤田・石井 2003/12/10 講談社
プログラミングのための線形代数 2004/10/25 平岡、堀著 オーム社
物理のための数学 1983/3/14 和達三樹 岩波書店
カオスとアクシデントを操る数学 バガー、スターバード著、熊谷、松井訳 早川書房
数は科学の言葉 2007/2/19 ダンティク著メイザー編水谷訳 日経BP
岩波講座 応用数学 4 微分方程式Ⅰ 1993/12/22 俣野博 岩波書店
道具としての微分方程式 2013/4/1 斉藤恭一 講談社