☆解析（その１ 関数）
古くは、未知数を含む方程式を解く技法を意味したが、現在では微分積分学を中心とする「極限の概念に関わる」数学を解析学という。
◎関数
◆変数と関数
実数のある範囲Ｄに属する任意の実数を代表させるのに文字x, y, z,…などを用いる。
範囲Ｄに属する任意の実数を代表する文字xを、xをＤ内で変動させることができるという意味を含んで変数という
範囲Ｄを変数ｘの変域という
変域Ｄの変数ｘのおのおのの値に対して、他のただ一つの実数ｙを定める対応が与えられているとき、ｙをｘの関数と呼ぶ
│ y=f(x)
│ y=y(x)
│ y=F(x)
などで表す
範囲Ｄを関数の定義域という
変数ｘを独立変数
ｙを従属変数という
ｙのとり得る値の範囲を関数の値域という。
＿◇陰関数
独立変数xと従属変数yの間の対応が F(x,y)=0の形の方程式で与えられたときに、この対応を陰関数という
⇒一般に陰関数では独立変数xの１つの値に対して、従属変数yの値は2個以上対応する
⇒xの１つの値に対して、yのr個の値が対応するとき、与えられた陰関数はｒ価関数であるといわれ、ｒが２以上のとき多価関数という。（無限多価関数もある）
⇒陰関数に対して普通の関数を陽関数ということがある
※単に関数といえば１価な陽関数である
＿◇偶関数と奇関数
※関数 y=f(x)が、その定義域のすべてのxに対して
│ f(-x)=f(x)
を満足するならば、これを偶関数という
※f(-x)=-f(x)を満足するならば、この関数を奇関数という。
＿◇周期関数
独立変数 x の値のいかんにかかわらず f(x+T)=f(x)を成り立たせるような正の数 T が存在すれば、関数 f(x)を周期関数とよび、この性質をもつ正の最小のTをその周期という。
＿◇増加関数、減少関数
関数 y=f(x)において、x1<x2ならば、つねにf(x1)<f(x2)であるとき、この関数を強い意味の増加関数という
関数 y=f(x)において、x1<x2ならば、つねにf(x1)≦f(x2)であるとき、y=f(x)を単に増加関数という
⇒強い意味の減少関数
⇒単なる減少関数
※増加関数と減少関数をまとめて単調関数という
＿◇有界な関数
関数 y=f(x) が与えられたとき、２つの実数 m と M が存在して、その定義域に属する x のいかなる値に対しても、つねにm≦f(x)≦Mがなりたつとき
│ y=f(x)を有界な関数という
│ mを下界、Mを上界という
※上界のみを有する関数を、上方に有界な関数といい、下界のみを有する関数を、下方に有界な関数という。
＿◇逆関数
関数 y=f(x) において、yの値に対してxの値が定まるときに、yを独立変数、xを従属変数と考えて、xとyを置き換えてyについて解いたものを
│ y=f^-1(x)
で表し、逆関数と呼ぶ。
※逆関数のグラフは元の関数のグラフと直線y=xに関して対称
＿◇合成関数
２つの関数 y=f(x) と y=g(x) が与えられた場合に、関数 y=f(g(x)), y=g(f(x)) をこれらの関数の合成関数という。
◆関数の連続性
＿◇連続の定義
y=f(x)という関数で、xがaに近づいたときに、f(x)はある値に収束し、しかも、その値がf(a)に等しいときに、y=f(x)はx=aにおいて連続であるという。
※つまり
lim[x→a]f(x)=f(a)
となるとき、f(x)はx=aにおいて連続であるという。
※「連続」は関数のグラフがつながっていることを必ずしも意味しない。とくに「１点において」連続というときにはそのような意味はない。
※「連続」は
lim[x→a]f(x)=f(a)=f(lim[x→a]x)
と等価である。
※不連続の例
f(x)=sin(1/x)
xを右から0に近づければ1/xは＋∞に近づく
xを左から0に近づければ1/xは－∞に近づく
いずれにせよ、sin(1/x)の値は＋１から－1の間を振動し、一定の値に収束しない
よってf(x)はx=0において不連続
※いたるところ不連続の例
h(x)
│ 0…xが有理数のとき
│ 1…xが無理数のとき
＿◇いたるところ連続
どの区間でも連続
＿◇ほとんどいたるところで連続
ある特定の点では不連続であるが、その他の点では連続
＿◇関数の連続
関数 y=f(x) において、実数 a がその定義域に含まれていて、さらに
│ 極限値 lim[x→a]f(x)
が存在して
│ lim[x→a]f(x)=f(a)
であるとき、この関数 y=f(x) は x=a で連続であるという。
※定義域が限定されている関数の場合は、その定義域の中で連続だが、グラフにすれば定義域に含まれない断続があるものもありえる
※区間Ⅰが y=f(x)の定義域に含まれていて、区間Iに属する全ての実数 a で y=f(x) が連続ならば関数 y=f(x) は区間Ⅰで連続であるという
※y=f(x)がx=aで連続であるということは、xがaから微小変化したとき、これに対するf(x)の変動もまた微小であることを意味する
※連続関数のグラフは連続曲線である
※不連続
関数 y=f(x) が点 x=a で定義されているが、
│ lim[x→a]f(x)
が存在しなかったり、存在しても
│ lim[x→a]f(x)≠f(a)
であるときに、y=f(x)は点 x=a で不連続である
※一般に点 x=a で左右両極限は存在するが一致しないために、関数f(x)が点 x=a で不連続である場合には、関数
y=f(x)のグラフには点 x=a で切断が現れる
＿◇連続関数の性質
定理 1.6
f(x)とg(x)が点 x=a で連続であるとする。
このとき
(1) f(x)+g(x)とf(x)-g(x)は点 x=a で連続である
(2) k*f(x)とf(x)*g(x)は点 x=a で連続である
(kは定数)
(3) 点x=aの近くで g(x)≠0ならば f(x)/g(x)は点 x=a で連続である
定理 1.7
f(x)とg(x)がそれぞれ点 x=a と点 y=f(a) で連続であれば、その合成関数 g(f(x)) は点 x=a で連続である
定理 1.8
関数 f(x) が点 x=a で連続であるとする。f(a)>0 (<0) ならば、点 x=a に十分近くでは f(x)>0 (<0)である
定理 1.9 中間値の定理
(1) 関数 f(x)が閉区間[a,b]で連続であって、f(a)とf(b)が異符号ならば、f(ξ)=0となる点 x=ξがaとbの間に少なくとも１つ存在する。
(2)関数 f(x)が閉区間[a,b]で連続であって、f(a)<f(b)とすれば, f(a)<k<f(b)である任意の実数 kに対して、f(ξ)=kとなる点x=ξがaとbとの間に少なくとも１つある。
定理 1.10 関数f(x)が閉区間[a,b]で連続ならば、f(x)は閉区間[a,b]で最大値と最小値をとる
⇒開区間であれば、連続であっても最大値も最小値もとらないことがありえる
定理 1.11
(1) lim[x→c]f(x)=aで、関数g(y)がy=aで連続ならば
│ lim[x→c]g(f(x))=g(lim[x→c]f(x))=g(a)
(2) 数列 {a_n}が収束し、lim[n→∞]a_n=aであって、関数g(y)がy=aで連続ならば
│ lim[n→∞]g(a_n)=g(lim[n→∞]a_n)=g(a)
＿◇ワイエルシュトラス関数
Weierstrass function
連続関数であるにも関わらず至るところで微分不可能。
w(x)=Σ[n=0:∞]{a^n*cos((b^n)*π*x)
ここで 0<a<1, bは正の奇数整数 a*b > 1+(3/2)π
◆関数の極値
※関数 y=f(x)の値が最小のとき、関数y=-f(x)の値は最大
＿◇極値と極値条件
※極大
関数を部分的にみて最大になるとき
※極小
関数を部分的にみて最小になるとき
※極値
極大や極小になる関数の値
※なめらかな関数が x=a で極値をとる必要条件
f'(a)=0
⇒導関数 f'(x)が負から正に変われば極小
⇒導関数 f'(x)が正から負に変われば極大
◎関数の定義
◆関数の定義
│ y=f(x)
※1つの実数xに対して、ただ1つの実数ｙが定まるとき、yをxの関数という。
│ x 独立変数
│ y 従属変数
例）y^2 = x は、１個のxに対して２個のyが対応するので関数ではない。
※代入できるxの値の範囲を関数yの定義域、yのとれる値の範囲を値域という。
※関数は、定義域という集合を値域という集合のなかに写す写像と考えてよい
＿◇整数論的関数
自然数を定義域とする
＿◇多変数関数
独立変数が２つ以上あるもの
⇒多変量解析
◆逆関数
直線 y=x に関して対称。
◆代数関数
xとyの多項式f(x,y)に対して、方程式f(x,y)=0で決まるxの関数yを代数関数という。
◆線形関数
f(a_1*x_1 + a_2*x_2) = a_1*f(x_1) + a_2*f(x_2)
│ (a_1, a_2は定数）
を満足する関数を全て線形関数と呼ぶ。
線形関数では、解の重ね合わせができる。
※線形性を持たない関数を非線形である、という。
※微積分の基本計算は線形性を有する。
◆超越関数
代数関数でない関数を超越関数という。
◆陰関数
│ 関数をy=f(x)の形でなく、f(x,y)=0という関係式で与えるとき、陰関数表示という。
◆関数の内積
定義(関数の内積) 区間(a,b)で定義されている二つの関数f(x),g(x)の内積(inner product)またはスカラー積(scalar product)を
____
(f,g) = ∫(a b) f(x)g(x)dx
と定義する。また(f,g)=0のときfとｇは直交(orthogonal)するという．
◎三角関数
◆sin, cos, tan
＿◇正弦関数
sinθ
＿◇余弦関数
cosθ
＿◇正接関数
tanθ
※sin, cos, tanの性質
①
│ sin(1/2π-θ) = cosθ
│ cos(1/2π-θ) = sinθ
│ tan(1/2π-θ) = 1/tanθ
②
│ sin(π-θ) = sinθ
│ cos(π-θ) = -cosθ
│ tan(π-θ) = -tanθ
③
│ sin(θ+2nπ) = sinθ
│ cos(θ+2nπ) = cosθ
│ tan(θ+2nπ) = tanθ
④
│ sin(-θ) = -sinθ
│ cos(-θ) = cosθ
│ tan(-θ) = -tanθ
⑤
│ sin(π+θ) = -sinθ
│ cos(π+θ) = -cosθ
│ tan(π+θ) = tanθ
⑥
│ sin(1/2π+θ) = cosθ
│ cos(1/2π+θ) = -sinθ
│ tan(1/2π+θ) = -1/tanθ
◆sin, cos, tan間の関係
①sin^2θ + cos^2θ = 1
│ 単位円上の点Pの座標は(cosθ, sinθ)であり、ピタゴラスの定理から上記が求まる。
②tanθ = sinθ / cosθ
│ tanの定義より
◆割三角関数
＿◇余割関数
cosecθ=1/sinθ
＿◇正割関数
secθ=1/cosθ
＿◇余接関数
cotanθ=1/tanθ
◆加法定理
│ 単位円上に∠xOP=α＋βなる点をとり、∠xOQ=βでかつ、PからOQにおろした垂線との交点がQとなるような三角形OPQを考え、PからX軸におろした垂線の交点S, QからX軸におろした垂線の交点R, QRの延長とPからX軸と平行に引いた直線との交点をTとすると、
│ PS=sin(α＋β）
│ TQ=sinαcosβ
│ QR=cosαsinβ
であって、PS=TQ+QRであることから①が求まる。
①sin(α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ
②sin(α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ
③cos(α＋β）=cosαcosβ－sinαsinβ
④cos(α－β）=cosαcosβ＋sinαsinβ
⑤tan(α＋β）=(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)
⑥tan(α－β）=(tanα－tanβ)/(1＋tanαtanβ)
※加法定理により、２つの角の値をもとにして三角比の表を求めることができる。
◆正弦定理
※三角形ＡＢＣにおいて
①頂角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ
│ 大文字のＡ，Ｂ，Ｃで表す。
②辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ
│ 小文字のa, b, cで表す。
半径Ｒの円に内接する三角形ＡＢＣにおいて
│ a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
◆余弦定理
角を挟む２辺と角の対辺の関係を示す。一般化されたピタゴラスの定理である。
a^2 = b^2 + c^2 – 2*b*c*cosA
b^2 = c^2 + a^2 – 2*c*a*cosB
c^2 = a^2 + b^2 – 2*a*b*cosC
◆ヘロンの公式
２辺b,cとその挟まれた角Aが分かれば３角形の面積は求まる
S = (1/2)*b*h = (1/2)*b*c*sinA
※ヘロンの公式
2s=a+b+cとおくと、面積Ｓは、
Ｓ = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))
◆２倍角の公式
①sin2α = 2*sinαcosα
②cos2α = cos^2α – sin^2α
│ =1 – 2*sin^2α = 2*cos^2α – 1
③tan2α = (2 * tanα) / (1 – tan^2α)
◆半角の公式
①sin^2 (α/2) = (1 – cosα)/2
②cos^2 (α/2) = (1 + cosα)/2
③tan^2 (α/2) = (1 – cosα)/(1 + cosα)
◆和差から積への公式
①sinα+sinβ = 2*sin((α+β)/2)*cos((α-β)/2)
②sinα-sinβ = 2*cos((α+β)/2)*sin((α-β)/2)
③cosα+cosβ = 2*cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)
④cosα-cosβ = -2*sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)
◆積から和差への公式
①sinαcosβ = (1/2){sin(α+β)+sin(α-β)}
②cosαsinβ = (1/2){sin(α+β)-sin(α-β)}
③cosαcosβ = (1/2){cos(α+β)+cos(α-β)}
④sinαsinβ = (-1/2){cos(α+β)-cos(α-β)}
◆三角関数の合成
a*sinθ+ b*cosθ⇒r*sin(θ+α)
点P(a,b)、x軸とOPのなす角をα、OP=rとすると
cosα=a/r
sinα=b/r
また
a*sinθ+ b*cosθ=r*((a/r)*sinθ+(b/r)*cosθ)
と変形でき、a/r,b/rの部分をcosα、cosβで書き直せる
ので、
=r(cosαcosθ+sinαcosθ) 加法定理により
=r*sin(θ+α)
r=√(a^2+b^2) なので
=√(a^2+b^2)*sin(θ+α)
ただし、αはcosα=a/√(a^2+b^2),
│ sinα=b/√(a^2+b^2)
となる角。
◆ド・モアブルの定理
(cosθ+i*sinθ)^n = cos(nθ) + i*sin(nθ)
※複素平面上の単位円上でθの回転をn回繰り返すのはnθの回転に等しい
※n=2の場合から、倍角公式が求まる。
◆逆三角関数
＿◇逆正弦関数
アークサイン
│ y = arc sin (x)
y=sin(x)の逆関数は無限多価関数であって、その定義域は[-1,1]。値域を閉区間[-π/2,π/2]（主値）に制限した関数をアークサインという。
＿◇逆余弦関数
アークコサイン
│ y = arc cos (x)
│
定義域は[-1,1]。値域は閉区間[0,π]
＿◇逆正接関数
アークタンジェント
│ y= arc tan(x)
定義域は(-∞,∞)、値域は開区間(-π/2,π/2)
◆オイラーの公式
e^ix = cos(x) + i*sin(x)
複素数 z=ix を代入したe^zのべき級数展開とcos x, sin xのべき級数展開より求めることができる。
◎指数関数
A^B
│ A: 底
│ B: 指数
◆指数の法則
①a^m * a^n = a^(m+n)
②a^m ÷ a^n = a^(m-n)
③(a*b)^n = a^n * b^n
④(a^m)^n = a^(m*n)
※a,bは0でない数
＿◇指数の拡張
│ a^0 = 1
│ a^-n = 1/a^n
│ a^(m/n) = n√a^m
＿◇対数の定義から
x = e ^ (ln x)
◆指数関数
a>0, a≠1のとき、y=a^xをaを底とする指数関数という
①xの値はすべての実数、yの値は正の実数
②a>1のときは増加関数、0<a<1のときは減少関数
③x軸が漸近線となる ④グラフは(0,1)を通る
＿◇eを底とした指数関数
①x=0で1を通る
②x>0で1より大、x<0で1より小
③x→∞で+∞に発散
④x→-∞で０に収束
⑤x=1のとき、2.718282…
⑥-0.1<x<0.1のように小さいとき
e^x =~ 1 + x の近似が成り立つ
◎双曲線関数
◆カテナリー(catenary, 懸垂線) 紐を２点で吊るしたときのカーブ
│y = cosh( x )
＿◇定義
cosh( x ) = (e**x + e**-x) / 2
sinh( x ) = (e**x – e**-x) / 2
tanh( x) = sinh (x ) / cosh (x)
coth(x) = 1 / tanh (x)
sech(x) = 1 / cosh(x)
cosech(x) = 1 / sinh(x)
＿◇級数展開
cosh (x) =1+x**2/2!+x**4/4!+…
cos(x)=1-x**2/2!+x**4/4!-…
※以下の放物線とｘが小さいところでは似ている。
y = 1 + x**2/2!
＿◇逆双曲線関数
arc sinh x = log(x + sqrt(x**2 +1))
arc cos x = ±log(x + sqrt(x**2 -1))
＿◇三角関数との関係
sinh x = – i sin(ix) cosh x = cos(ix)
◎対数関数 logarithm
１以外の正の数aと正の数Mに対して, M=a^pとなる実数pを log(a)Mと書き、log(a)Mをaを底とするMの対数といい、Mをこの対数の真数という。
※指数関数 y=a^x (a>0, a≠1）の逆関数
│ y=log(a)x
aを底とする対数関数。定義域は(0,+∞)
y=log(a)x ⇔x=a**y
①log(a)a = 1
②log(a)1 = 0
③log(a)b = log(a)c * log(c)b
④対数の基本公式
log(a)AB = log(a)A + log(a)B
log(a)A/B = log(a)A – log(a)B
log(a)A^m = m*log(a)A
⑤a,c は１でない正数、b正数の時、
log(a)b = log(c)b / log(c)a
※底の変換公式
◆対数関数 y = log(a) x の性質
①xの値は正の実数、yの値は全ての実数
②a>1のときは、増加関数、0<a<1のときは減少関数
③y軸を漸近線とする ④点(1,0)を通り、指数関数y=a^xと直線y=xに関して対称になる。
＿◇半対数グラフ
一定の倍率で増加したり減少したりするケースで過去のデータプロットから未来を外挿する場合に向く。
y=a^(b*x+c) a:正の定数 b,c:定数 が直線となる。
＿◇両対数グラフ
横軸をx, 縦軸をyとすると
│ y=x^n │ (nは定数、１でもよい） という式のグラフは直線となる
＿◇自然対数
①x=1で0、x>1で正、x<1で負
②x=1からxが大きい方へ追うと、yは大きくなるが緩やかにしか増加しない。
③x=1からxが小さい方へ向かうと急激に減少
│ x→0で-∞に発散
xにマイナスは無い
＿◇スターリングの公式
∫[1:N]{log(x)}dx
Nは１より大きい整数
x=1でlog(x)=0だから、１≦x≦Nの範囲で、log(x)のグラフとx軸の間の面積となる
xが整数の時の値ｘ幅１の短冊を考えれば
log(1)+log(2)+..+log(N-1)
│ < ∫[1:N]{log(x)}dx <
log(2)+log(3)+..+log(N)
また対数の和の公式 log(a)+log(b)=log(a*b)より
log(1)+log(2)+..+log(N-1) = log((N-1)!)
log(2)+log(3)+..+log(N) = log(N!)
∫[1:N]{log(x)}dx
は、部分積分公式を使って
∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) -∫f'(x)g(x)dx
=[x*log(x)][1:N]-∫[1:N]{x*(1/x)}dx
=N*log(N)-(N-1)
=N*(log(N)-1))+1
よって
log((N-1)!) < N*(log(N)-1)) + 1 <log(N!)
ここで、log((N-1)!) と log(N!) の差は、log(N)の短冊一つだけであり、Ｎが非常に大きければ総和に比べて無視できるほど小さい。
│ log((N-1)!) ～ log(N!)
log(N!)～N*(log(N)-1)
│ (最後の+1もＮに比べて小さいので無視）
が近似的に成り立つ
※場合の数の対数にスターリングの公式を適用
log(N!/(N0!+N1!+Nj!))～N*log(N)-∑[0:j]{Nj*log(Nj)}
◆常用対数
底が１０の対数。ブリックス（英）考案
log(10)N = log(10)(a * 10^n) = n+log(10)a = n+α
n:指標、α:仮数
例）
log(10)261 = log(10)(2.61 * 10^2) = 2 * log(10)2.61
※1以上10未満の数aの常用対数が分かれば、正数Nの常用対数が求められる。⇒常用対数表
│ 掛け算を足し算で、割り算を引き算で計算できる。
│ 累乗根は掛け算で計算できる。
│
log(10)√2=log(10)2^(1/2)=(1/2)log(10)2=0.1505
log(10)x = 0.1505 となる数を常用対数表からもとめれば1.41…となる。
※log(10)Nの指標がnのとき、
│ N≧0 Nは(n+1)桁の数
│ N<0 Nは小数第(-n)位に0でない数が初めて現れる。
例）3^1000は何桁の数か
│ log(10)3^1000 = 1000*log(10)3 = 477 + 0.1
│ よって478桁 ※底の変換公式により、底が10でない対数も常用対数に直して演算できる。
※一定の倍率で増加、減少するときの回数を求める。
例）0.8^x≦0.05 になるx
│ 常用対数をとれば log(10) 0.8^x ≦ log(10)0.05 x * (log(10)2^3+log(10)10^-1) ≦ log(10)5+log(10)10^-2 これを常用対数表から計算すると、 -0.0970*x≦-1.3010 x≧13.41… ｘが整数の場合、１４回繰り返すことが分かる。
※半減期
例）炭素14の半減期5730年。
１年にp倍の割合で減少するとすると p^5730 = 1/2 … p = (1/2)^(1/5730) 炭素14が３分の１のこっていたとすると、 P^x = 1/3 (1/2)^(x/5730) = 1/3 常用対数をとれば (x/5730)*log(10)(1/2) = log(10)(1/3) これより x≒9082
◆自然対数の底 e e = 2.718281828459045… (log(a)X)’ = lim[h->0]{log(a)(X+h)-log(a)(X)}/h
│ = lim[h->0]{log(a)((X+h)/X)}/h
│ = lim[h->0](1/X)(x/h){log(a)(1+h/X)}
│ = (1/X)lim[h->0]{log(a)(1+h/X)^(X/h)}
(X/h)=kとおくとh->0のとき,k->∞
(log(a)X)’
│ = (1/X)lim[k->∞]{log(a)(1+k)^k}
(1+1/k)^kのkを限りなく大きくするとある一定の数に近づく
これが e (2.718281…)
よって
(log(a)X)’ = (1/X)log(a)e
a=eのとき
(log(e)X)’ = (1/X)log(e)e = 1/X
※eを底とする指数関数e^xを微分するとe^xになる。
(e^x)’ = e^x
※e = lim[n->∞](1+1/n)^n
定義２
階乗の逆数の和。第11項までで小数点以下7桁がでる。
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! …
◎符号関数
sgn(x) =
│ +1 (x>0のとき）
│ -1 (x<0のとき）
∫[-∞,∞](e^iωx / ω)dω
│ = iπsgn(x)
◎ガンマ関数
◎ベータ関数