☆数
◆ＲとＣとＺ
＿ 変数ｘを定義するときに、ｘ∈Ｒやｘ∈Ｃという形に書く。
＿ Ｒは変数が実数の範囲ということを表す。
＿ Ｃは変数が複素数の範囲ということを表す。
＿ Ｚは変数が整数であることを表す。
◆「数」の役割
①基数 数や量を表す
②順序数 物の順序を表す
③標識数 記号として使われる
数 number
◆自然数
＿◇自然数の定義
①すべての自然数は必ず一つ後ろの数を持つ
②任意の自然数n1とn2に対しては次の３つの関係の中の１つだけが成立する
＿ n1<n2, n1=n2, n1>n2
③自然数は加算の交換法則を満たす
＿ a+b=b+a
④自然数は加算の結合法則を満たす
＿ a+(b+c)=(a+b)+c
⑤自然数は数を並べた直線の上では、飛び飛びの点の集まりとして表される。
※自然数全体の集合をＮ（二重文字）で表す
＿ Natural number
＿◇完全数
＿ 約数のうち、自分自身を除いた数の合計が元の数と一致するもの
＿ 6, 28, 496, 8128 …
※現在見つかっている完全数は全て偶数。
※すべて６か８で終わっている。
※８００万桁ほどまでの数のなかで40個前後しかない。
※ユークリッドによる完全数の法則
＿ 2^n-1が素数なら、2^(n-1)*(2^n-1)は偶数の完全数
＿◇メルセンヌ数
＿ Mersenne number
＿ 2^n-1という形で表せる数
＿ 素数である場合をメルセンヌ素数という
※2^13466917 – 1
4053946桁の数
※メルセンヌ素数
2,3,5,7,13,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,…
…,6972593
までの３８個が『何番目』と確定している
※他に１０００万桁を越えるような大きな数を含む７個が見つかっているが、何番目とは確定できていない。
＿◇不足数、過剰数
※不足数
約数の和が元の数より小さい数
※過剰数
約数の和が元の数より大きい数
＿◇友愛数,婚約数,社交数
※友愛数
＿ 約数の和が相手の数になる
＿ 220-284, 17296-18416, …
※婚約数
＿ 約数の中から１を除いた和がお互いの数になる
＿ (4組しか見つかっていない）
＿ 48-75, 140-195, 1050-1925, 1575-1648
※社交数
＿ ある数の約数の和が別の数になるという循環関係が成立
＿ 12496-14288-15472-14536-14264-
＿◇三角数
＿ t_n = (1/2)*n*(n+1)
＿◇カプレカー操作、カプレカー数
※カプレカー操作
例）4つとも同じ数字の４桁の数をのぞく４桁の数に対して、各桁の数字を並べ替えてできる最大の数から最小の数の差を求める。このとき0が先頭に来てもよいこととする。
これを繰り返すと、6174に至る。
※3桁の数でこれを行うと、495で終結する。
※カプレカー数
例）
＿ 45^2 = 2025
＿ 2025を中央でわけて足し算をすると
＿ 20 + 25 = 45
＿
＿ 55^2 = 3025
＿ 30 + 25 = 55
※平方数が奇数桁のときは先頭に0をつける。
＿ 297^2 = 088209
＿ 088 + 209 = 297
1, 9, 45, 55, 297, 703, 2223, 2728, 7272, 7777, …
＿◇３ｘ＋１手続き
正の整数について
①偶数だったら２で割る
②奇数だったら３倍して１を足す。
③以上を繰り返すと、１に至る
＿◇カタラン数
カタラン数(Catalan number)
自然数で、ベルギーの数学者Catalanによって名づけられた。
ｎ番目のカタラン数Ｃｎは
Ｃｎ＝(1/n+1)「2n n」= (2n)! / (n+1)!*n!
※「」は２項係数の記号
※Ｃ０からの列記
1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862…
２項係数を用いた形のカタラン数の表現
Ｃｎ＝「2n n」-「2n n-1」 n≧1
漸化式
Ｃ０＝１、Ｃｎ＋１＝（２＊（２ｎ＋１）／（ｎ＋２））Ｃｎ＝∑(i=0:n)Ci*Cn-i
母関数
（１－√(1-4x))/2x = ∑(n=0:∞)「2n n」x^n/(n+1)
※ｎ組の()を正しくならべる方法
※ｎ本の木で作られた二分木にｎ＋１の葉をつける方法の総数
※対角線を跨がずに向かい合った点をつなぐ道順の総数
＿◇自然数に関する有名な算術式
①
＿ １１１１１１１１１×１１１１１１１１１
＿ ＝１２３４５６７８９８７５６４３２１
②
＿ １ｘ９＋２＝１１
＿ １２ｘ９＋３＝１１１
＿ １２３ｘ９＋４＝１１１１
＿ 。。。
＿ １２３４５６７９ｘ９＋９＝１１１１１１１１１
③
＿ １＋２＝３
＿ ４＋５＋６＝７＋８
＿ ９＋１０＋１１＋１２＝１３＋１４＋１５
＿ １６＋１７＋１８＋１９＋２０＝
＿ ２１＋２２＋２３＋２４
④
＿ １２３４５６７８９ｘ９＝１１１１１１１１１
＿ １２３４５６７８９ｘ１８＝２２２２２２２２２
＿ １２３４５６７８９ｘ２７＝３３３３３３３３３
⑤
＿ ９ｘ９＋７＝８８
＿ ９８ｘ９＋６＝８８８
＿ ９８７ｘ９＋４＝８８８８
＿ 。。。
＿ ９８７６５４３２ｘ９＋０＝８８８８８８８８８
⑥
＿ ３＾２＋４＾２＝５＾２
＿ 10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
＿ 21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2
＿ 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=
＿ 41^2+42^2+43^2+44^2
⑦
＿ ３ｘ３７＝１１１
＿ ６ｘ３７＝２２２
＿ ９ｘ３７＝３３３
＿ 。。。
＿ ２７ｘ３７＝９９９
⑧
＿ ３３ｘ３３６７＝１１１１１１
＿ ６６ｘ３３６７＝２２２２２２
＿ 。。。
＿ ２９７ｘ３３６７＝９９９９９９
＿◇フェルマーの最終定理
＿ x^n+y^n=z^n (n≧3)を満たす
＿ 自然数x,y,zは存在しない
＿◇パスカルの３角形
＿ 各行の両端は１
＿ 上段の隣り合う数を足した数が下段の数となる。
※n段目の数列は (a+b)^nを展開したときの各項の係数と等しくなる
※パスカルの３角形に斜線を引き、囲まれた部分の数字を足すとフィボナッチ数列が出現する。
◆可算
自然数の集合 Ｎ と１対１の対応をつけられる集合を可算であるという。
◆素数
prime number
自然数で１とその数地震の他に、約数(divisor)を持たないもの
自然数の分類
①約数が１個の数。。。１
②約数が２個の数。。。素数
③約数が３個以上の数。。合成数(composite number)
※合成数は素因数分解可能
⇒順番を考慮しなければ一意に決まる
⇒素因数分解の一意性(uniqueness)
factorization into prime factors
※自然数２は唯一偶数の素数で偶素数と呼ばれる
※任意の３以上の整数は
＿ 素数
＿ 奇素数の倍数
＿ ４の倍数
※１を素数としないのは、素因数分解の一意性のため
⇒名の通った数学者で素数に１をいれた最後の人は、アンリ・ルベーグで1899年のこと。
＿◇エラトステネスの篩
Eratosthenes’ sieve
①１は素数でないので除く。
②残った先頭の２は素数なので、２の倍数を全て除く。
③残った先頭の３は素数なので、３の倍数を全て除く。
。。。これを繰り返すことで、素数だけが残る。
※ある自然数Ｎまでの全ての素数を求めるには
[√N] 「[]」はガウスの記号まで繰り返す必要がある
＿◇フェルマー素数
pを負でない整数とし、
＿ Fp = 2^2^p + 1 の形をした整数が素数であるときにFpをフェルマー素数という。
＿ F0 = 3
＿ F1 = 5
＿ F2 = 17
＿ F3 = 257
＿ F4 = 65537
＿ F5は素数でない。
＿◇互いに素（coprime）
2つの整数が1と-1以外に共通の約数を持たない場合の2数の関係である。
整数a,bが互いに素であれば ax+by=1 を満たす整数x,yが存在する。
aとbが互いに素 ⇔ (2^a)-1 と(2^b)-1 が互いに素
＿◇素数個数関数
プライム・カウンティング・ファンクション
π(N)
Nまでの素数の個数（Ｎより小さいか等しい）
＿◇素数定理
π(N) ～ N / log(N)
～「漸近的に近づく」
→Ｎが素数である確率は ～1/log(N)
→Ｎ番目の素数は ～N * log(N)
π(N)より小さい推定値を出す
※対数積分関数を使って
π(N) ～ Li(N)
こちらの方がπ(N)に近く、π(N)より大きい推定値を出す。
＿◇ベルトランの要請
任意の数とその２倍の数の間には、必ず素数が見つかる
＿◇ゴールドバッハ予想
＿ ２を除いたすべての偶数は２個の素数の和として表せる
＿ 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5…
＿◇双子素数予想
※双子素数
⇒偶数を挟む２つの奇数の素数のペア
例）５と７、１１と１３、１７と１９など
※双子素数予想
双子素数は無限にある
◆整数
※全順序
※有理整数＜＞代数的整数
※整数全体の集合をＺ（二重文字）で表す
＿ ganze Zahl
※0で割ることは禁止。
＿ 1 ÷ 0 = x
なるxがあったとすると、上の式は、
＿ 0 × x = 1
でなければならない。よって答えxは無い（不能）
＿◇偶数、奇数
２の倍数(multiple)を偶数(even number)と呼ぶ
他を奇数(odd number)とよぶ
◆有理数
rational number
整数に分数が加わった数の集合
＿ 0
＿ 有限小数
＿ 無限小数のうち循環小数
※有理数全体の集合をＱ（二重文字）で表す
＿ Quotient
※人間が１つ１つの数をきちんと表現して認識できるのは、有理数までである。有理数は自然数から始まって四則演算が自由にできるように範囲を広げていった結果得られた数の体系である。
※実数の連続性の要請から
0.9999… = 1 である（記法が異なるだけ）と考える
※有理数の稠密性
※有理数の濃度も自然数と同じアレフゼロである。
※
分子 numerator
分母 denominator
約分 abbreviation
＿◇循環小数
recurring decimal
※無限循環小数の数の並びの一つのまとまりを「循環節」と呼び、循環節の初めと終わりに黒丸を打って略記する。
※純循環小数
pure recurring decimal
循環節が小数第１位から始まるもの
※混循環小数
mixed-recurring decimal
循環節が小数第２位以降から始まるもの
＿◇循環小数の分数への変換
J.Robertsonによる方法
※純循環小数の場合
①分子に循環節をとる
②分母に同じ桁数だけの９を並べる
③約分する
※混循環小数の場合
①有限小数の部分を分離し別に分数とする
②循環節の部分を小数第１位からになるようにして純循環小数の変換を行う
③②の結果の桁を①に結果にあわせて加える
＿◇循環小数の循環部の先頭を求める定理
W.G. Leavittによる定理
入力の整数ｎが何回2と5で割り切れるかを求めて、その大きい方の値に1を加えたものが循環部の先頭の桁をあらわす
例）
44544000= 3 * 29 * 2^12 * 5^3
2で12回
5で3回
割り切れる
max(12,3)=12 これに1を足して 小数点以下13桁目が循環部の先頭となる。
◆無理数
irrational number
整数と自然数の比で表すことができず、小数点以下不規則な数列が無限に続く（無限非循環小数）
＿ 代数的無理数 代数方程式の解になる
＿ 超越数 代数方程式の解として表せない
＿ π=3.141592…
＿ 自然対数の底 e=2.718281828459…
※無限小数
infinite decimal
＿◇超越数
代数方程式の根として導くことができない数を「超越数」と呼ぶ。
例）π
◆実数
※実数全体の集合をＲ（二重文字）で表す
＿ Real Number
※デデキントは、有理数の切断(A~,B~)全体が、新しい数の体系である実数を与える、と考えた。
①大小の順序をつけられる
②無限分割可能性がある
③連続性がある
④４則演算が可能
＿◇実数の連続性
２つの実数列
＿ a1,a2,…,an,…
＿ b1,b2,…,bn,…
が、次の２つの性質(i),(ii)をみたしているとする。
(i) a1<a2<…<an<…<bn<…<b2<…<b1
(ii) bn-an →0 (n→∞)
このとき、ただ１つの実数αが存在して
＿ an < α が成り立つ。
※このαは、実数列a1,a2,…とb1,b2,…の共通の極限値であるといい、このことを記号で
＿ α=lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn
とあらわす。
＿◇デデキントの連続性
実数を２つの部分AとBにわけ、Aに属する数は、Bに属する数よりも小さいとする。このときこの切断を与える実数αがただ一つ存在する。αがAに属しているときは、αはAの最大数で、このときBには最小数はない。αがBに属しているときは、αはBの最小数で、このときAには最大数はない。
＿◇数直線
number line
実数には切れ目がなく、連続なので数直線を使って図示できる。
※閉区間 closed interval
※開区間 open interval
※半開区間 semi-open interval
※端点 end point
＿◇ガウス記号
Gauss’ symbol
[N]
Nを越えない最大の整数を表す
◆虚数(imaginary number)、複素数
※複素数全体の集合をＣ（二重文字）で表す
＿ Complex Number
◆複素数
＿◇虚数単位i
＿ i^2 = -1
＿◇複素数、共役複素数
＿ z = a + bi
＿
※共役複素数
＿ a – bi
※(a + bi)(a – bi) = a^2 + b^2
＿ 虚部が消える。
＿ ガウス平面上の原点からの距離の二乗となる
※ふくそきょうやく
※複素共役の数は、複素平面上、実軸を対称軸とする線対称の位置にある。
＿ a+i*b = r(cosθ+i*sinθ) = r*e^(iθ)
に対して
＿ a-i*b = r(cosθ-i*sinθ)
＿ = r(cos(-θ)+i*sin(-θ)) = r*e^(-iθ)
＿◇複素数平面（ガウス平面）
＿ 虚軸をy軸、実軸をx軸にとる。
＿◇複素数の絶対値
√(a^2+b^2)
ガウス平面の原点からの距離を示す。
複素数にその数の共役複素数をかけることで複素平面上の原点からの距離の二乗であるa^2+b^2がもとまる。
＿◇複素数の加減算
＿ 複素平面上での点の平行移動を表す。
＿◇複素数の乗除算
＿ 複素平面上での点の回転と拡大、縮小を表す
＿ (割り算は、分母の共役複素数を分母分子に掛ける）
※乗除する数wのX軸とのなす角度をθ、距離をWとすれば
掛ければ反時計方向の回転θ、拡大W。割れば時計方向の回転θ、縮小1/W.
＿◇実数の複素数乗
実数ｍは
＿ ｍ＝ｅ^log(ｍ)
(log は自然対数)と書ける
ｍ^x＝ｍ^(a+bi)＝ｍ^a * ｍ^bi
＝ｍ^a(ｅ^log(ｍ))^bi＝ｍ^a * ｅ^(bi・log(ｍ))
＝ｍ^a *{cos(ｂ・logｍ)＋ｉsin(ｂ・logｍ)}
＿◇虚数の虚数乗
i^i = (e^i(π/2))^i = e^(-π/2)
実数値となる。
i^i =0.2078795…
＿◇複素関数
①sin z
三角関数のべき級数展開においてxに複素数を代入して求めることができる。（i~2=-1なのでi^3=-i…となりiのべき乗はみなiになってまとめられる）
例）sin i = (1+1/3!+1/5!+…)i
＿ 係数を計算すると、1.17520119…となる
＿
べき級数展開の式をsin zの定義とする。
＿◇極形式
z=a+biを複素平面上の点(a,b)に対応づけると、点zと原点Oとの距離をr, ∠xOz=θとすると、
＿ a=r*cosθ
＿ b=r*sinθ
なので
＿ z = r * (cosθ + i sinθ)
とあらわせる。rは複素数zの絶対値といい |z| と表される。
＿◇複素数での微分
実数の微分と同じ結果となる。
＿◇ド・モアブルの定理
(cosα+i*sinα）^n=(e^iα)^n=e^inα
=cos(n*α)+i*sin(n*α）
※複素数zをn乗すると、偏角がn倍になる。
＿◇オイラーの公式
＿ e^iθ=cosθ + i sinθ
※e^i * π = -1
※導出
cosθ、sinθをべき級数展開(テイラー展開）し、e^iθのべき級数展開と比較することによりオイラーの公式が導かれる
※オイラーの公式から、複素数の掛け算は、複素平面上での回転と拡大縮小を表すことがわかる。
＿ z = r * (cosθ + i sinθ)
＿ w = s * (cosα + i sinα)
＿ z * w = r*s*{cos(α+θ)+i*sin(α+θ)}
＿◇４元数
複素数を３次元に拡張する。４つの単位４元数1,i,j,kをつかい、４元数qは
＿ q = a + bi + cj + dk
という形で表現される。
＿ i × j = -j × i = k
＿ j × k = -k × j = i
＿ k × i = -i × k = j
＿ i^2 = j^2 = k^2 = i × j × k = -1
※加減算は「通常」の算術法則に従うが、乗法の交換法則は成り立たない。
◆群の公理
数のある集合Ｇについて、以下が成り立つとき、Ｇは加算に関して群をなす、という。（可換群＜アーベル群＞）
ある数の集合Ｇは、加算a+bについて閉じていて、次の４つの規則が成り立つ。
＿ a, b, cはＧの任意の数とする。
G1. 交換法則
＿ a + b = b + a
G2. 結合法則
＿ a + (b + c) = (a + b) + c
G3. 特別な数 零 0 があって
＿ a + 0 = 0 + a = a
G4. aの反数 -a があって、
＿ a + (-a) = (-a) + a = 0
※群
群は、元と、任意の２つの元どおしの間の演算から成る。
元の集まりが群になるためには、任意の２つの元に演算を施した結果が、やはりその群の元になっていなければならない。他に
＿ どの元と結びつけても変化を生じない元が含まれている
＿ どの元にも逆元が存在すること
＿◇有限群の分類
※散在型単純群。。。２６個存在
※コンウエイ群
＿ リーチ格子の対称性を表す
◆環の公理 ring
以下のようなシステムＲを単位元を持つ可換環という。
ある数の集合Ｒは、和 c=a+b と積 d=a*b について閉じていて、次の８つの規則が成り立つ。
＿ a, b, cはＲの任意の数とする。
R1. 加算の交換法則
＿ a + b = b + a
R2. 加算の結合法則
＿ a + (b + c) = (a + b) + c
R3. Ｒには特別な数 零 0 があって
＿ a + 0 = 0 + a = a
R4. 各aに対して反数 -a があって、
＿ a + (-a) = (-a) + a = 0
R5. 乗算の交換法則
＿ a * b = b * a
R6. 乗算の結合法則
＿ a * (b * c) = (a * b) * c
R7. Ｒには特別な単位 1 という数があって
＿ a * 1 = 1 * a = a
R8. 加算と乗算の間の分配法則
＿ a * (b + c) = a*b + a*c
＿ (b + c) * a = b*a + c*a
◆２元２次形式
a*x^2+2*b*x*y+c*y^2
※幾何学的には２次形式は格子上の２点間の距離とみなせる
（格子はx方向に長さaおよびy方向に長さc)
２つの軸がなす角度の正弦
＿ b/ac
※２次形式の判別式
＿ ⊿ = a^2*c^2 – b^2
（負ならば b^2 – a^2*c^2）
◆ディオファントス方程式
Diophantine equation
整係数多変数高次不定方程式
※整数解や有理数解を問題にしたい場合に用いられる用語
※整数および変数の定数乗の加減乗算からなる方程式は、すべてディオファントス方程式である
＿◇ベズー方程式
ax + by = d
※ユークリッド互助法により一般の整数解が求まる
＿◇ピタゴラス方程式
x^2 + y^2 = z^2
※ピタゴラス数。。。一般生成公式が存在
＿◇ベル方程式
x^2 – ny^2 = 1
※連分数により一般の整数解が求まる
＿◇楕円曲線
y^2 = f(x)
f(x)は重根をもたない、3次または4次の多項式
＿◇超楕円曲線
y^2 = f(x)
f(x)は重根をもたない、5次以上の多項式
◎無限
◆無限
無限桁の数はあるが、無限桁目の数字はない
※桁目ということは、どこかで「止まる」必要あるが、どこまでいっても最後ではないので、決められない。
◆0.999… = 1 の証明
S=0.999… とおく(無限桁だが有限の数なのでSとおける）
10S=9.99…
10S – S = 9S = 9.00…
よって
S = 1
※無限大になってしまうものを数として置いてはならない！
※0.131313…の分数への変換
S=0.131313…
100S=13.1313…
100S-S=99S=13
∴
S=13/99
◆コーシー列
どんな精度で観測しても、十分先までいけばどの２つも区別がつかなくなる列
※数の正体
◆無限の濃度
＿ 数えることができる無限 自然数、整数、有理数
＿ 数えることができない無限 無理数
※有限集合の場合、全体は必ず部分より大きいが、無限集合の場合はそうとは限らない。
※アレフゼロ。。。自然数の無限の濃度
＿ 偶数、奇数もまた自然数と同様の濃度アレフゼロを持つ。 どれだけ多くの部分に分けようともアレフゼロの持つ存在の濃さは減じない。
※部分と全体が同じ内容を持つ、それが無限というものである。
※無限とは、対応関係に何らかの規則性があり、その規則性が破綻する理由が論理的に見つからない場合に現れる。
＿◇連続無限と可算無限
数直線 連続無限（非可算無限。自然数すべてを使っても数え切れない）
自然数 可算無限（１，２，３と番号をつけられる）
＿◇ベルンシュタインの定理
あるカップルの取り方でＡの方があまり、別のカップルの取り方でＢが余るならば、その両方のカップルの取り方を組み合わせることで、ＡもＢも余り無くピッタリとなるようなカップルの作り方を作ることができる
※無限集合ＡとＢ
＿ （１）ＡとＢは個数が同じ
＿ （２）Ａの方がＢより個数が多い
＿ （３）Ｂの法がＡより個数が多い
◆可能無限と実在無限
＿◇可能無限
※どんな大きな数よりも、さらに大きな数がある
※とにかく一つとったｎについて議論し、証明する
※証明ができてしまえばどんなｎについても成り立っているので無限に大きいｎについて照明したことになる
※直感としては無限だが、論証に使う数としては有限
＿◇アルキメデスの原理（数学）
０以上の数で、どんな自然数nに対しても1/nよりも小さいものは0に限る
＿◇実在無限
無限回の操作を行った結果を考える。S=0.99999…
＿◇無限の算術
∞ + 1 = ∞
∞ + ∞ = ∞ (2 * ∞ = ∞)
∞ * ∞ = ∞
足し算は２つの集合を合わせる、掛け算はペアを作る操作なので可能だが、∞を引き算するのは０で割り算するのと同様に情報が失われる。
※０の割り算。「何かに０を掛けたら０になった。何に０を掛けたか？」
◆√(1+√(1+…)
数直線上にプロットできる数であるので、これはｘを置くことができる。
＿ x = √(1 + x)
これから
＿ x = (1+√5)/2
となる