今回から１階連立微分方程式の練習に入ります。教科書では２階の微分方程式を２個未知関数の１階連立微分方程式に変換したり、逆に一階の連立微分方程式から２階の微分方程式に変換できることが示されとります。なんだかな～。察するに伝家の宝刀 ode2は使えない雰囲気がありあり。desolve関数に御出馬願うしかない？
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※数学のお勉強のための以下の教科書の例題をMaximaの練習に使わせていただいております。ただし御本家『培風館』様のホームページで検索してみるも掲載されていないようです。絶版？ そのため以下のリンクは『Amazon』の通販ページであります。ご注意を。
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- Maxima 5.46.0(x86_64-w64-mingw32)
- wxMaxima 22.04.0
ｎ次正方行列とｎ次ベクトル関数による問題の表記
教科書では、数学らしく以下のような形で表現しております。
太線文字で書けばベクトルね。それも列ベクトル。数学らしいっす。f(x)がノンゼロならば非同次、０ならば同次と呼ぶと。美しいですが、解ける気がしないです。
でもね、Scilab／Xcosのような数値シミュレーションで微分方程式を解くときに、単なる積分ブロック一種類で複雑なシステムに立ち向かえるのは、元が２階だろうと３階だろうと結局１階の連立に帰着できる、というありがたい性質のお陰でないかと。閑話休題。
最初の例題
最初の例題は以下です。eqn1とeqn2の連立微分方程式です。desolve関数には微分方程式を束（リスト）にして食わせることができるので、２本だろうが、３本だろうが、束にして渡すことが可能です。ただし、以前にも書きましたが、ode2関数とは異なり、未知関数がどの独立変数の関数なのかをアカラサマに書かないと解いていただけませぬ。ode2では、y一文字で済んだところを y(x)のように明示することが必要です。また、ode2では一般解を求めるのにテキトーに任意定数を生成してくれたのですが、desolveの場合はy(0)とかイチイチメンドイ記法で定数をハメコンできます。１個くらいならy(0)もいいですが、方程式が増えると何やら複雑となります。せめて文字定数で書いて、ということでatvalue関数で事前に定数を文字で定義してます。
解くこと自体は簡単、desolve関数にリストに入れて束ねた方程式と、求めるべき関数名のリストを与えるだけです。こんな感じ。
desolveは、リストに入れた形でお答えを返してくれる上に、結果の見栄えをよくするような整理までしてくれないみたいです。そこで結果の各関数を個別に取り出して ratsimpにかけて整形してます。
２番目の例題で不思議な質問？
２番目の例題は以下です。ここまでは上記と変わりなく。
しかし、問題は desolveに上記を渡したときに身に覚えのない g668などという変数が、正なの負なのゼロなどと聞かれました（黄色のマーカ。）これは何？ 試みに、p、n、ｚみな入力してみましたが、得られるお答えは同じものみたいでした。何なんだろ～。
結果そのものは有っているみたいなので、上記同様、１関数ずつとりだしておきました（緑のマーカ。）
なお、お答えをみるとC3、C4で書かれた定数を別な定数にまとめたいです。こんな感じかな。
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- y3(x)=Ae3x – 2Be2x + ex
- y4(x)=Ae3x – Be2x -2ex
こういうところは 「ode2方式」の方がありがたいが。。。