溝口純敏様著「Maxima を使った物理数学基礎演習ノート」（PDF、以下「演習ノート」と略）を拝読中。今回は２９ページ右側。「3.2 一階微分方程式 3.2.4 Bernoulli の方程式」です。「演習ノート」の例をそのまま練習するのも芸がないので、今回はGoogleの生成AIに例題の生成お願いしてみました。
※ MaximaおよびそのGUIであるwxMaximaの以下バージョンを使用させていただいております。
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- wxMaxima 22.04.0
- Maxima 5.46.0(x86_64-w64-mingw32)
- SBCL 2.2.2 (SBCL = Steel Bank Common Lisp )
※ Maxima を使った物理数学基礎演習ノート は以下のバージョンをダウンロードさせていただきました。
令和4 年3 月 第八回改訂
※ 方程式の例とその解の生成に Googleの生成AI、Gemini 2.0 Flash Thinking (experimental)を使わせていただきました。
Bernoulli の方程式
1階線形微分方程式のうち、以下のような形式の方程式をベルヌーイの方程式と呼ぶようです。
\(\frac {dy} {dx} + P(x)y = Q(x) y^n \)本シリーズの過去回でも一度練習したことがあります。
忘却の微分方程式(135) 反復練習98、ベルヌーイの方程式の例題なんだが、Maxima
n=0または1のときは線形微分方程式ですが、ベルヌーイ様のお名前を頂く場合は、n≠0, 1 ということなので非線形っす。ヤバイよ。
とはいえ、ode2関数で一撃で解ける、というのが上記過去回での経験でした。また「演習ノート」でもそのようです。「演習ノート」の例題をただなぞっても芸がないので、別口の例題をやってみることにしました。
最近、無料で使える範囲が増えたGoogleの生成AI、Gemini様
いつもお世話になっているGemini様の機能のうち、最近無料で使える範囲が拡大されました。超強力っす。今回はその中でも、
Gemini 2.0 Flash Thinking (experimental)
にお願いして、ベルヌーイ方程式の例を挙げてもらい、そのうちのいくつかを解いてみてもらいました。Gemini様は４例あげてくれたのですが、そのうちの２例が以下です。
上の２例について方程式の解を求めてもらいました。結果としては２例ともMaximaで求めた結果と一致。
以下は例１を解くときの冒頭部分。
上記のように、変数変換するぞと宣言して作業開始してます。以降省略してしまいましたが、詳細に各ステップ毎に手順と中間結果が列挙されていきます。末尾部分が以下です。
解が得られました。
Maximaでの解法
Maximaでは、方程式を定義して、ode2にお願いすれば一撃デス。
EQ0: diff(y,x,1) + (1/x)*y = x^2 * y^3; R0: ode2(EQ0, y, x);
上記のGemini様の解と同じ形になるように、最後に一発変形まで入れた処理結果が以下に。
目出度くGemini様とMaxima様の結果が一致。結局、計算は全部お任せ。人間の出る幕はナシ。