忘却の微分方程式(189)「Maximaを使った物理数学基礎演習ノート」を読む、リカッチ

溝口純敏様著「Maxima を使った物理数学基礎演習ノート」（PDF、以下「演習ノート」と略）を拝読中。今回は３０ページ左側。「3.2 一階微分方程式 3.2.5 Riccati の方程式」です。今回も、Googleの生成AIに例題の生成とその解答をお願いし、Maximaで解いた結果と比べてみました。

※   MaximaおよびそのGUIであるwxMaximaの以下バージョンを使用させていただいております。

• • wxMaxima 22.04.0
  • Maxima 5.46.0(x86_64-w64-mingw32)
  • SBCL 2.2.2  (SBCL =  Steel Bank Common Lisp )

※　Maxima を使った物理数学基礎演習ノート　は以下のバージョンをダウンロードさせていただきました。

令和4 年3 月　第八回改訂

※　方程式の例とその解の生成に Googleの生成AI、Gemini 2.0 Flash Thinking (experimental)を使わせていただきました。

Riccati の方程式

リカッチの方程式は以下の形。

\(\frac {d} {dx} y + P(x) + Q(x)y + R(x)y^2 = 0\)

 

「演習ノート」には３問ほど例題が列挙されており、それぞれMaximaで解いた解も記されています。それをそのままなぞるのも芸がないので、例によって、Googleの生成AI、Gemini 2.0 Flash Thinking (experimental)にお願いして何題か例題を作成した上で、それぞれの解も提示してもらいました。そのうちの例題２が以下に。

実を言えば、生成AIは例題を５題作ってくれてます。しかし、

• • 例題１、例題３、例題４はP(x)、Q(x)、R(x)の全てが定数だったので不採用。
  • 例題５は解が求まっていなかった。

ということで例題２を採用したのが上記です。まあ、例題２は、P(x)、Q(x)がxの関数ですが、R(x)は定数でちょい不満足。しかし、解も求まっていたので採用ということで。妥協しておるのう。

Maximaでの求解

処理ステップは以下に。

depends(y,[x]);
EQ0: diff(y, x, 1) + (2/x^2)- (2/x)*y + y^2 = 0;
EQ1: ode2(EQ0, y, x);
EQ2: solve(EQ1, y);

以下のように、ode2で得られた結果が x= の形になっていて、Gemini様の結果と比較しずらいので、最後 solveにお願いして、y=の形に整えてます。

Gemini様とMaxima様のお答えは一致ということでいいかな。あたりまえか。

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