溝口純敏様著「Maxima を使った物理数学基礎演習ノート」（以下「演習ノート」と略）を拝読中。今回は７３ページ「3.4.6 Hermite の微分方程式」です。前回のルジャンドル陪微分方程式に続き、雷名とどろくエルミート様の御成り。前回同様「多項式」がまろび出てまいります。エルミートの多項式とな。なんだそれ。
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※ MaximaおよびそのGUIであるwxMaximaの以下バージョンを使用させていただいております。
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- wxMaxima 22.04.0
- Maxima 5.46.0(x86_64-w64-mingw32)
- SBCL 2.2.2 (SBCL = Steel Bank Common Lisp )
※Maxima を使った物理数学基礎演習ノート は以下のバージョンをダウンロードさせていただきました。
令和4 年3 月 第八回改訂
Hermite の微分方程式
まずはわけも分からずエルミートの微分方程式を掲げておきます。
\( \frac{d^2 y}{dx^2}y – 2 x \frac{d}{dx}y + 2 y N = 0\)
まあ、数学素人老人が式を眺めていても埒が明かないので、例によってGoogleの生成AI、Gemini 2.5 Flash様に教えていただきます。
前回同様シュレディンガー方程式登場。そしてここでも多項式解が存在すると。こんな感じらしいです、よいしょっと。
そして、過去回ででてきたルジャンドル多項式同様、エルミート多項式もまた直交多項式である、と。
そういえば、チェビシェフ多項式なんていうのも直交多項式のお仲間らしいです。知らんけど。
Hermite の多項式(ロドリゲスの公式、Rodrigues’ formula）
演習ノートでは、エルミート方程式の解を級数展開してエルミート多項式に至る道筋をMaxima上でしっかり教えていただいているのです。例によってその部分はパス。末尾のエルミート多項式を求めるところだけ、Maximaつかって練習してみました（上記Gemini様がお教えくだすっているロドリゲスの公式利用っす。）
上記のH_0、H_１は、あってますな。当たり前か。一応、H_2、H_3も以下に。
一応、エルミート多項式を計算できたけれど、後は野となれか。ダメじゃん。