前回は、３階、４階の定数係数同次線形微分方程式でした。３階以上では伝家の宝刀、ode2が使えなくなるので、ちょいとメンドイdesolveにお願いしてました。今回は「非同次」です。教科書的にはもっとメンドそうな。しかし例題は２階デス。おっと ode2が使えるじゃん。教科書的なお教えをバイパス。いいのかそんなことで。
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※数学のお勉強のための以下の教科書の例題をMaximaの練習に使わせていただいております。ただし御本家『培風館』様のホームページで検索してみるも掲載されていないようです。絶版？ そのため以下のリンクは『Amazon』の通販ページであります。ご注意を。
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定数係数２階非同次線形方程式
教科書的には、こんな感じの「奴」です。
y” + ay’ + by = Q(x)
この解法としては、
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- ともかく特殊解 η(x) を見つける
- 同次方程式 y” + ay’ + by = 0 の基本解を求める
- 以下のスローガンで非同次方程式の一般解が求まる「非同次方程式の一般解＝同次方程式の一般解＋非同次方程式の特殊解η(x)」
というステップをお教えいただいております。その際 Q(x)が以下であれば特殊解η(x)の形は分かっているのでラッキーっと（そういう言い方していいのか？）
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- Q(x)がd次の多項式
- Q(x)が三角関数(A cos(αx) + B sin(αx))
- Q(x)が指数関数(A eβx)
しかし、２階です。ode2()関数の適用範囲内っす。伝家の宝刀 ode2()が使えるならば、いろいろメンドイ手順を踏まずとも、微分方程式を渡せば立ちどころに一般解が出るっと。
例題１
まずは、ode2()の御帰還を祝って１題。２階の非同次方程式ですが ode2()にお任せすれば「ほぼ」一撃です（今回は教科書的に整理された形にするのに最後にfactorかけてますが。）
いい感じだな。
例題３、４、５
例題３、４、５と並べたのは、他でもありません。これら３題は微分方程式の左辺は共通です。こんな形。
y” – y’ – 2y =
そして右辺のQ(x)は、例題３、４、５の順に、上で列挙されておる多項式、三角関数、指数関数であります。教科書的には「未定係数法」を駆使して特殊解η(x)を求めることになるのですが、ode2()にお任せすると即一般解がもとまっちまいますぜ。
以下黄色のマーカ部がQ(x)、緑のマーカ部が特殊解η(x)部分デス。
やっぱり、ode2()の切れ味は良いなあ。お楽。