今回は、対角線に関して成分が対称にならんでいる対称行列Aについて、その固有ベクトルから直交行列Uを求め、対角化せよ、との思し召しであります。過去３回くらい似たようなことを繰り返しやってきているので、復習の復習みたいな感じがしないでもないです。ぜんぜん身についてないんだけれども。。。
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※以下の実習は、みんな大好き、フリーの数式処理ソフトウエアの代表選手 Maxima様のWindowsPC上以下のバージョンで行なっております。
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- wxMaxima 21.05.2 (MaximaのGUIフロントエンド的なもの？）
- Maxima 5.45.1 (Maxima本体）
※以下の参考書の「改訂１」版の演習問題を題材に使わせていただいております。
昔、こういう御本があったればもっと数学できるようになったのにと後悔しきりでありますが、今は数学諦めてMaxima様に丸投げっと。
問題の対称行列Aとその固有値
例題の対称行列Aは、２ｘ２の「ささやか」な大きさのものであります。教科書的には、固有方程式を立て、固有値を求め、固有ベクトルを計算して、変換行列Uを得ると。そして対角行列に至るという手順です。
第４８回にて行列の固有方程式を求めること、固有値を得ることは以下のようにやっております。
教科書的には固有値２個もとまったら、さらに固有ベクトルを求めという手順が続いているのですが、Maxima様におかれましては、一撃で固有値、固有ベクトルを求める関数 eigenvectors() を持たれております（第４９回でやりました。）
こんな感じ。
上記で固有ベクトルはあっさり求まっているのですが、直交行列Uにするときに正規化しないとならないので、前回も使った以下の小道具を定義しておきます。
上記を使って、正規化した固有ベクトルは以下のように求まります。
上記をガチャンコすれば、変換行列（かつ直交行列）Uがもとまります。その操作が以下に。
あとは、U-1 A U を計算すればAが対角行列に変換できるっと。こんな感じ。
もとまっちゃった？２ｘ２サイズの行列だったけれども、後は３ｘ３だろうと、４ｘ４だろうと、ドンとかかってきなさいって感じ？ ホントか？